Câmpul vectorial 1

Definiție și Variații

spațiu euclidian

Cu alte cuvinte, fiecare punct în spațiu este mapat la un vector (o valoare de câmp vectorial la un moment dat în spațiu). In general, acest vector este diferit pentru diferite puncte în spațiu, adică în câmp vectorial general, presupune valori diferite la diferite puncte în spațiu. La fiecare punct al vectorului câmp are o anumită dimensiune și o anumită (cu excepția cazurilor când câmpul devine zero) în direcția acestui spațiu [3].

  • În literatura de specialitate (în special în vârstă precum și fizică) în ceea ce privește câmpul vectorial pe un spațiu folosit ca pretext pentru (adică, să vorbească și în domeniul spațial, și un câmp în spațiu).

diversitate

Într-un caz mai general, atunci când spațiul original este un colector. câmp vectorial este determinat ca o secțiune a mănunchiului tangent unui anumit colector, adică cartarea fiecare punct p care asociază vectorul X p> în spațiul tangent la p.

În fizică, câmpul vectorial termen. în afară de valoare comună așa cum este descris mai sus, are o semnificație specială, mai ales în ceea ce privește domeniile fundamentale (cm. mai jos). Sensul acestui consum se reduce la faptul că domeniile fundamentale fizice clasificate în funcție de natura potențialului lor, și un astfel de tip - câmp vectorial (sau gluonului câmp electromagnetic).

Notat˘a prin câmp vectorial este de obicei numai în conformitate cu acordurile adoptate de vectori

  • în fizică pentru această literă bold frecvent utilizate sau o săgeată de peste, de exemplu,
    • E> sau v → >>;
    • 4 vectori - înregistrare index convențional, cum ar fi A i>;
  • în literatura de matematică, în general, pentru toți vectorii și câmpuri vectoriale, în special, nu au nici simboluri speciale comune.

Deseori, prevede în mod explicit dependența de un punct în spațiu. [4] de exemplu:

B (p). (P),> unde p - desemnarea simbolică a unui punct în spațiu,

De obicei, este suficient câmp vectorial de referință în funcție de coordonatele în spațiul în care câmpul este setat, de exemplu:

sau (pentru domeniu, dependent de timp):

Bazele teoriei analitică a câmpurilor de forță dezvoltate de Maxwell. Gibbs și Heaviside în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Cazuri particulare de câmpuri vectoriale

câmpuri vectoriale pe linia

Orice funcție valori reale a unei variabile reale poate fi interpretată ca un câmp vectorial unidimensional.

câmpuri vectoriale în planul

câmpuri vectoriale în spațiu tridimensional

În spațiul tridimensional au semnificația următoarelor caracteristici ale câmpului vectorial

unde punctul denotă produsul scalar, dl> - un element de vector al căii curbe în lungul căreia integrarea este, F τ> - proiecția F> în tangentă (pozitiv) la traiectoria curbată, dl - element de cale scalar (element de lungime), C - curba specifică - calea de integrare (de obicei, se bazează destul de buna). Poate cel mai simplu prototip fizic al integralei este lucrarea forței F>. care acționează asupra punctului pe măsură ce mutați punctul de-a lungul unui traseu predeterminat.

- integrala pe un circuit închis:

în care integrantul coincide cu cea descrisă mai sus doar, iar diferența constă în calea integrării C. care, în acest caz, este închisă prin definiție, așa cum este indicat printr-un cerc pe semnul integral.

F (r) (\ mathbf)> S prin suprafața este definită ca fiind integrala peste S:

unde F n> - proiecția vectorului câmp de-a lungul normalei la suprafață, d S> - «vector suprafață elementul“, definit ca vectorul normal de unitate, înmulțită cu d S. Cel mai simplu exemplu al acestui model este volumul trecerii fluidului prin suprafața S. în timp ce debitul cu F.

derivat

Analogul derivatului pentru un câmp vectorial acționează tensor parțial (Jacobian), care este în coordonate carteziene este după cum urmează:

- Trasarea derivaților tensoriale. Aceasta nu depinde de sistemul de coordonate (o transformare de coordonate invariant, scalare), în coordonatele carteziene calculate prin formula:

Aceeași expresie poate fi scrisă cu ajutorul unui operator de nabla simbolic

Gauss teorema Ostrogradskii permite calcularea câmpului vectorial de curgere prin utilizarea volumului integral al divergența câmpului.

- caracteristica componenta vectorului vortex al câmpului vectorial. Acest vector cu coordonate:

Pentru comoditate, puteți stoca în mod convențional rotorul reprezinta ca produs vectorial:

- cel mai important și operarea simplă, permițându-ne pentru a obține câmpul vectorial al câmpului scalar. Obținut prin aplicarea unor astfel de operațiuni la un câmp scalar f se numește gradient de câmp vectorial f:

sau prin scris, prin intermediul Obs:

Câmpul vectorial a cărui divergență este zero pretutindeni, numit solenoidali; acesta poate fi reprezentat ca un rotor a unor câmp alt vector.

Câmpul vectorial, al cărui rotor este egală cu zero în orice punct se numește potențial (irrotational); acesta poate fi reprezentat ca un gradient al unui câmp scalar (potențial).

Există o teoremă Helmholtz. dacă peste tot în domeniul D y definit prin divergența unui câmp vectorial și un rotor, atunci acest câmp poate fi reprezentat ca suma potențialului și al câmpului solenoidali.

Câmpul vectorial în care divergența, iar rotorul este peste tot zero se numește armonice; potențialul său este o funcție armonică.

line vector

Ce este un câmp vectorial

Liniile de câmp magnetic

Curba Integral (de asemenea - o linie de vector pentru a forța câmpuri - o linie de putere pentru câmpul vitezei de mișcare a unui fluid - traseu de curgere; .. Primii termeni sunt comune, iar celălalt - ele sunt sinonime în funcție de context) pentru (mathbf \) câmpul F (r) > este o curbă r = r (t) = \ mathbf (t)>. tangent la care, la toate punctele coincide cu câmpul valorii curbei:

Pentru a forța liniile de câmp de forță sunt indică în mod clar direcția impactului forțelor de câmp.

În cazul în care o regiune suficient de mică a câmpului spațiului dispare niciodată, că prin fiecare punct al acestei regiuni trece una și doar o singură linie de forță. Punctul în care câmpurile vectoriale de la zero - speciale în direcția lor de câmp nu este definit, iar comportamentul liniilor electrice în vecinătatea acestor puncte pot fi diferite: este posibil, printr-un punct singular trece un număr infinit de linii de forță, dar este posibil ca unul nu trece.

Câmpul vectorial se numește complet. în cazul în care curbele integrale sunt definite pe întreg colectorul.

câmp vectorial în spațiul n-dimensional

Toate enumerate pentru câmpuri vectoriale în structuri tridimensionale spațiale și proprietăți generalizate direct la orice dimensiune finită spațiu n.

Majoritatea acestor generalizări destul de banal, cu excepția determinării rotorului. pentru construirea corectă a care într-un caz arbitrar n-dimensional, în contrast cu trei dimensiuni, este necesar să se utilizeze un extern. mai degrabă decât un vector (care este definit numai pentru cazul tridimensional) produsul. Când n = 2 operația corespunzătoare ia forma produsului pseudo scalar.

Mai mult decât atât, în cazul n arbitrar are nevoie de un anumit flux ordonat c definiție. Definiții de bază sunt complet analoage să curgă prin hipersuprafață dimensiunii (n - 1).

În fizică, exemple tipice ale câmpurilor vectoriale sunt domenii de forță (câmp de forță - o intensitate a câmpului (care depinde de poziția în spațiu a corpului pe care acționează forța) sau strâns asociată cu puterea intensității câmpului).

Alte exemple tipice - domeniul de viteză (de exemplu, lichid sau de gaz rata), câmpul de deplasare (de exemplu, în mediu elastic deformat) și altele [5]. de exemplu, vectorul densității de curent. fluxul de energie vector sau flux de particule de material (de exemplu, difuzia) vectorul gradient de temperatură, concentrația sau presiune, etc și așa mai departe.

Punct de vedere istoric, hidrodinamica a avut un impact enorm asupra formării structurilor de bază ale analizei vectoriale și foarte terminologia ei. Astfel, originea hidrodinamic sunt concepte, cum ar fi

  • flux câmp vectorial,
  • vortex (rotor) și circulația câmpului vectorial,
  • line curs de apa

și, într-un fel sau altul, și multe altele (aproape fiecare dintre ei este, în cazul în care nu originea hidrodinamic, interpretarea hidrodinamic).

utilizați în special a termenului în fizica

In general, termenul în câmp vectorial fizică are aceeași semnificație ca și în matematică descrise mai sus. În acest sens, un câmp vectorial poate fi numit orice vector de-cantitatea fizică este o funcție a unui punct în spațiu, și, adesea, de asemenea, depinde de timp.

Cu toate acestea, există un caz specific utilizării acestui termen, care apar în principal în clasificarea câmpurilor fizice fundamentale. În acest caz, cuvântul „câmp vectorial“ înseamnă că câmpul vectorial (4-vector sau o dimensiune mai mare, în cazul în care avem de-a face cu un multi-dimensionale modele teoretice abstracte) este valoarea cea mai fundamentală - potențialul. și nu derivații acesteia (intensitatea câmpului electromagnetic și t. p.). De exemplu, în vector câmpuri includ câmpul electromagnetic. potențialul care este un câmp de 4-vector, în timp ce puterea din punct de vedere actual, este un tensor. Câmpul gravitațional este numit în acest sens, un tensor, ca și potențialul său este câmpul tensorial.

Practic sinonim cu „câmp vectorial“ în acest sens este particula vectorul pe termen lung în fizica modernă (de reproducere, de asemenea, aceste concepte similare de particule de vector se face referire ca câmpul vectorial de excitație, sau pentru a pune un pic mai tradițional - vector de particule este o cuantică a câmpului vectorial). Un alt sinonim practic - o particulă de câmp de spin 1 sau de spin 1.

Pe considerând clasificarea (clasificare de spin boson câmpul fundamental) sunt conectate direct, unele proprietăți ale câmpurilor corespunzătoare, de exemplu, a atras sau respins de interacțiunea acestui câmp particule de aceeași sarcină (referitoare la acest tip de interacțiune), la fel ca sau opus unei taxe la particula-antiparticula. Particulele care interacționează cu ajutorul câmpului vectorial cu aceeași sarcină sunt respinse și atrase în contrariul, iar particula pereche - antiparticula are taxa opuse una alteia (ca, în special, în cazul câmpului electromagnetic) - în contrast cu proprietățile câmpului gravitațional și taxele gravitaționale.

  1. ↑ În principiu, câmpul vectorial poate fi determinat în mod similar, nu numai pe euclidiană sau pseudo-euclidiană, dar, de asemenea, pe un spațiu afin liniar arbitrar sau, dar, de obicei, spațiul se înțelege încă finit, și se intenționează ca acesta a determinat produsul interior (necesar pentru a determina operațiunile vectorului de bază assay precum divergenta liniei integrale și așa mai departe) ..; în aplicații fizice este adesea obișnuit spațiu tridimensional fizice, sau patru-dimensional spațiu-timp.
  2. ↑ Această definiție matematică formală nu face distincție între spațiul principal și vectorii de câmp spațiu - unul ca poate fi preparat din alt multiplicării de numărul (un scalar). Din punct de vedere al fizicii între aceste spații există o mică diferență, deoarece vectorul câmp, măsurat, de obicei, în alte unități, astfel încât identitatea spațiului principal și vectorii de câmp spațiu oarecare arbitrar (vector câmp măsură poate fi reprezentat în spațiul de bază, dar lungimea acestei vector ar fi condiționată). Cu toate acestea, în orice caz, la introducerea standardului obișnuit al conceptului câmp vectorial dimensiunea acestor spații coincid, mai mult decât atât, vectorul câmp este atașat la spațiul principal în sensul că direcția vectorului câmp (dacă nu este zero) este complet definită în spațiul în care câmpul este setat, acesta poate fi descompusă în baza (sau vielbein), în spațiul principal, deși coeficienții de expansiune și nu va adimensionale (în sensul de unități fizice) numere.
  3. ↑ Dacă un câmp vizualizat, termenul dependent (adică, schimbarea în timp), se presupune că este nevoie de o anumită valoare definită (magnitudinea și direcția) la fiecare punct în spațiu, în orice moment dat (și la momente diferite, aceste valori în general sunt diferite și un punct).
  4. ↑, desigur, poate, în acest caz, dacă este necesar, să fie suplimentar disponibil, de asemenea, o dependență funcțională pe alți parametri, cum ar fi E → (r → Q.)> (>, Q),> unde r → >>. - punct în spațiu, Q - unii parametri adiționali (de exemplu, taxa sursa).
  5. ↑ Aceste exemple pot fi mai mult sau mai puțin fundamentale, dar, în principiu, practic orice cantitate fizică vector care depinde coordonatele pot fi considerate ca un câmp vectorial.